Question

已知点A是抛物线y²=4x上的动点，l₁是过点A的抛物线的一条切线，设A（x₁，y₁），求证：l₁的方程为y₁y=2（x+x₁）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过点A的切线方程是y-y₁=k（x-x₁），代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由相切利用△=0化简，再把点A带抛物线方程得：x₁=

y12

4

，代入再化简求出k，代入切线方程化简可得过点A的切线方程．

解答： 证明：设过点A的切线方程是y-y₁=k（x-x₁），且k≠0
代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，
∵l₁是过点A的抛物线的一条切线，
∴△=0，即16=16k（y₁-kx₁），则1=ky₁-k²x₁，①
因为A（x₁，y₁）在抛物线y²=4x上，所以y12=4x₁，即x₁=

y12

4

，
代入①得，1=ky₁-

k2y12

4

，即(ky1)2-4ky1+4=0，
解得ky₁=2，所以k=

2

y1

，代入y-y₁=k（x-x₁），
化简得y₁y-y12=2（x-x₁）则y₁y-4x₁=2（x-x₁），即y₁y=2（x+x₁），
∴过点A的切线方程是y₁y=2（x+x₁）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，切线方程的求法，注意点的位置关系的应用，属于中档题．