Question

16．已知函数$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函数，且满足g（1）=g（4）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若$f（x）=\frac{1}{g（x）}（x≠0）$，当x∈[2，+∞）时，函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）对于（2）中的f（x），是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式$f（x）+\frac{k}{2}＞0$对x∈[0，+∞）恒成立，②方程f（x）=k在x∈[-8，-1）上有解．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用g（1）=g（4）求出b的值，利用$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函数，求出a的值；
（2）根据函数单调性，即可得出结论；
（3）分别求出满足两个条件的实数k的取值范围，即可得出结论．

解答 解：（1）由g（1）=g（4）得$\frac{1}{1+a+b}$=$\frac{4}{16+4a+b}$，解得b=4，
由$g（x）=\frac{x}{{{x^2}+ax+b}}$是奇函数，g（-x）+g（x）=0得2a=0，
∴a=0；          （5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{4}{x}$，函数f（x）在区间x∈[2，+∞）单调递增，
∴不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；（9分）
（3）对于条件①：
由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4  （10分）
故若$f（x）+\frac{k}{2}＞0$对x∈（0，+∞）恒成立，
则需4＞-$\frac{k}{2}$，∴k＞-8；                  （11分）
对于条件②：由（2）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0）单调递减，
∴函数f（x）在[-8，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，（12分）
又f（-8）=-10，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
∴函数f（x）在[-8，-1]上的值域为[-10，-4]，（13分）
若方程f（x）=k在[-8，-1]有解，则需-10≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需-10≤k≤-4．
故当-10≤k≤-4时，条件①②同时满足．                 （15分）

点评 本题考查函数的性质，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．