Question

函数f（x）=2^x-2^-x是（　　）

A．奇函数且在R上是减函数

B．奇函数且在R上是增函数

C．偶函数且在（0，+∞）上是减函数

D．偶函数且在（0，+∞）上是增函数

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义验证f（-x）=f（x）是否成立，可得函数的奇偶性；当x₁＜x₂时，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，可得函数的单调性．

解答：解：∵x∈R，f（-x）=2^-x-2^x=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
∵f（x₁）-f（x₂）=2x1-

1

2x1

-（2x2-

1

2x2

）=（2x1-2x2）（1+

1

2x1+x2

），
∴当x₁＜x₂时，2x1-2x2＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是增函数．
故选B．

点评：本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与证明，利用定义判断函数的单调性与奇偶性是基本方法，一定要熟练掌握．