Question

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为

 

．

Answer 1

分析：由题意，设底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，圆锥的半径为R，高为H．根据圆锥与球的体积公式，建立关于θ、R的等式，解出cotθ=2，结合同角三角函数的基本关系算出sinθ的值，可得答案．

解答：解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，
则圆锥的高H=R•cotθ
圆锥的体积，V₁=

1

3

πR2H=

1

3

πR3cotθ
∵半球的体积V₂=

1

2

×

4

3

πR3=

2

3

πR3，且V₁=V₂
∴

1

3

πR3cotθ=

2

3

πR3，解得cotθ=

cosθ

sinθ

=2，
结合sin²θ+cos²θ=1，解得sinθ=

5

5

．
故答案为：

5

5

点评：本题给出满足条件圆锥与半球，求圆锥的母线与轴所成角正弦值，着重考查了圆锥与球的体积公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．