Question

（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，第2小题4分；新教材试题第1小题3分，第2小题5分．）

（老教材） 设a为实数，方程2x2-8x+a+1=0的一个虚根的模是 5 ． （1）求a的值； （2）在复数范围内求方程的解．

（新教材） 设函数f（x）=2x+p，（p为常数且p∈R） （1）若f（3）=5，求f（x）的解析式； （2）在满足（1）的条件下，解方程：f-1（x）=2+log2x2．

Answer 1

分析：（老教材）（1）设方程2x²-8x+a+1=0的两个虚根为z₁，z₂，而该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，然后根据|z1|2=z1•

.

z1

=z1•z2=5可求出a的值；
（2）将a代入方程，然后在复数范围内解方程即可；
（新教材）（1）据题意f（3）=5代入方程，求出p的值，从而求出解析式；
（2）先求出函数的反函数，然后解对数方程，注意定义域优先原则，从而求出所求．

解答：（老教材）解：（1）设方程2x²-8x+a+1=0的两个虚根为z₁，z₂
由于该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，即z1=

.

z2

又|z1|2=z1•

.

z1

=z1•z2=

a+1

2

=5⇒a=9．
（2）由（1）得方程2x²-8x+10=0，即x²-4x+5=0
解得z₁=2+i，z₂=2-i．
（新教材）解：（1）据题意f（3）=5代入f（x）=2^x+p，得2³+p=5⇒p=-3，所以f（x）=2^x-3．
（2）由2^x=y+3，得x=log₂（y+3）
所以f^-1（x）=log₂（x+3），x∈（-3，0）∪（0，+∞）．
故方程即为log₂（x+3）=2+log₂x²，⇒log₂（x+3）=log₂（4x²）⇒4x²-x-3=0，解得x=1，x=-

3

4

．
由于，经检验x1=1，x2=-

3

4

都为原方程的根．

点评：本题主要考查了复数运算，以及反函数和对数方程，解题时需注意定义域，属于基础题．