Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2sin²A+sin²B=sin²C．
（1）若b=2a=4，求△ABC的面积；
（2）求$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值，并确定此时$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）2sin²A+sin²B=sin²C，由正弦定理可得2a²+b²=c²，b=2a=4，c=2$\sqrt{6}$，求出sinC，即可求△ABC的面积；
（2）利用基本不等式求$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值，并确定此时$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：（1）∵2sin²A+sin²B=sin²C，
∴由正弦定理可得2a²+b²=c²，
∵b=2a=4，∴c=2$\sqrt{6}$，
∴cosC=$\frac{4+16-24}{2×2×4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$；
（2）2a²+b²=c²≥2$\sqrt{2}$ab，
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}$≥2$\sqrt{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值为2$\sqrt{2}$，
此时b=$\sqrt{2}$a，c=2a，$\frac{c}{a}$=2．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，属于中档题．