Question

已知椭圆E：的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1，利用a²=b²+c²，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为，分别代入椭圆E的方程，求得A、B的坐标，从而可求直角三角形MAB的面积，利用最大值为，可求a的值；
（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．
解答：解：（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴椭圆E的方程为
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得  （1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或，故点A的坐标为
同理，点B的坐标为
∴=
=，
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为=
直线l的方程为，即
∴直线l过定点
点评：本题考查椭圆方程，考查三角形的面积，考查直线过定点，解题的关键是正确求出三角形的面积、直线的方程．