Question

设f（x）=log

1

2

(

1-ax

x-1

)为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍．
（2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小．
（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴log

1

2

(

1+ax

-x-1

)=-log

1

2

(

1-ax

x-1

)?

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

＞0?1-a2x2=1-x2?a=±1．
检验a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f(x)=log

1

2

(

x+1

x-1

)
证明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0＜

2

x1-1

＜

2

x2-1

?1+

2

x1-1

＜1+

2

x2-1

?0＜

x1+1

x1-1

＜

x2+1

x2-1

?log

1

2

(

x1+1

x1-1

)＞log

1

2

(

x2+1

x2-1

)
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，即f(x)-(

1

2

)x＞m恒成立．
令g(x)=f(x)-(

1

2

)x．只需g（x）_min＞m，
又易知g(x)=f(x)-(

1

2

)x在[3，4]上是增函数，
∴g(x)min=g(3)=-

9

8

．
∴m＜-

9

8

时原式恒成立．

点评：本题是以对数函数为载体考查函数基本性质的小综合题，用到了函数奇偶性，函数单调性的定义．恒成立问题中求字母的取值范围问题往往通过分离变量转化为函数的最值问题，体现了等价转化的思想．