Question

已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=

π

3

，求曲线P的方程；
（2）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2求得A，B的坐标，利用∠AOB=

π

3

可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用

OA

=

m2-1

m2+a

+1，求得对于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2时，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，故存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立且M得最小值为：2．

解答：解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2可得 A（-

1 a

，1），B（

1 a

，1），
∵∠AOB=

π

3

，∴tan

π

6

=

1 a

，∴a=3
∴曲线C的方程为3x²+y²=2．
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x₁x₂=-

1

m2+a

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+(mx1+1)(mx2+1)=

m2-1

m2+a

+1=2+

1-a

m2+a

，
对于任意的a∈（0，1），m∈R，

OA

•

OB

的最大值小于2．
∴取M大于等于2时，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
故存在M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，且M的最小值为2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是结合韦达定理，利用函数思想分析求解．