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已知.

(1)求函数上的最小值;

(2)对一切恒成立,求实数的取值范围;

(3)证明:对一切,都有成立.

 

【答案】

(1);(2)

(3)设,则

证得,当且仅当时取到,

从而对一切,都有成立.

【解析】

试题分析:(1)定义域为

单调递减,

单调递增.                     2分

无解;                                  3分

,即时,

,即时,上单调递增,

所以

(2),则,对一切恒成立

,则

单调递减,单调递增     8分

上,有唯一极小值,即为最小值.

所以,因为对一切恒成成立,

所以;                                          9分

(3)问题等价于证明

由(1)可知的最小值是,当且仅当时取到,

,则

易得,当且仅当时取到,                11分

从而对一切,都有成立.                   12分

考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值,不等式的证明。

点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)(3)涉及恒成立问题、不等式证明问题,均通过转化成求函数的最值,这种思路是一般解法,在研究函数最值的过程中,再次利用导数。

 

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