Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点P（0，$\sqrt{5}$），离心率为$\frac{2}{3}$，过点F₁的直线l与直线x=4交于点A
（I）  求椭圆C的方程；
（II） 当线段F₁A的垂直平分线经过点F₂时，求直线l的方程；
（III）点B在椭圆C上，当OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{5}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得即可，
（Ⅱ）法一：设A（4，y），F₁（-2，0），根据线段F₁A的垂直平分线经过点F₂得到|F₁F₂|=|F₂A|，代值计算即可y的值，即可求出直线方程，
法二：设过点F₁（-2，0）的直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），再设AF₁的中点P（x₀，y₀）．根据PF₂⊥F₁A，即可求出k的值，
（Ⅲ）点B在椭圆C上，设B（m，n），n∈[-$\sqrt{5}$，0）∪（0，$\sqrt{5}$]，A（4，y），根据两点之间的距离公式，化简整理，再根据函数的单调性求出最值．

解答 解：（ I）由$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{5}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=2.\end{array}\right.$
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（ II）法一：设A（4，y），F₁（-2，0），
因为线段F₁A的垂直平分线经过点F₂，
所以|F₁F₂|=|F₂A|．
由2c=4=$\sqrt{（4-2）^{2}+{y}^{2}}$，解得y=±2$\sqrt{3}$．
所以直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）．
（ II）法二
设过点F₁（-2，0）的直线l的斜率为k，显然k存在．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
所以A（4，6k）．
设AF₁的中点P（x₀，y₀）．
则${x_0}=\frac{-2+4}{2}=1，{y_0}=\frac{0+6k}{2}=3k$．
所以P（1，3k）．
因为PF₂⊥F₁A，
所以$\frac{3k-0}{1-2}•k=-1$．
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）．
（ III）点B在椭圆C上，设B（m，n），n∈[-$\sqrt{5}$，0）∪（0，$\sqrt{5}$]，A（4，y）．
因为OA⊥OB，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即4m+ny=0．
因为点B在椭圆C上，
所以$\frac{{m}^{2}}{9}$+$\frac{{n}^{2}}{5}$=1，
所以|AB|²=（m-4）²+（n-y）²=m²-8m+16+n²-2ny+y²=m²-8m+16+n²+8m+y²，
=m²+16+n²+y²=m²+16+n²+（$\frac{-4m}{n}$）²，
=9（1-$\frac{{n}^{2}}{5}$）+16+n²+$\frac{16×9（1-\frac{{n}^{2}}{5}）}{{n}^{2}}$，
=$\frac{144}{{n}^{2}}$-$\frac{4{n}^{2}}{5}$-$\frac{19}{5}$
设t=n²，t∈（0，5]
设$g（t）=\frac{144}{t}-\frac{4t}{5}-\frac{19}{5}$．
因为$g'（t）=\frac{-144}{t^2}-\frac{4}{5}＜0$，
所以g（t）在（0，5]上单调递减．
所以当t=5，即$n=±\sqrt{5}$时，|AB|_min=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，以及两点的距离公式和函数的应用，考查运算能力，属于中档题．