Question

如图，在棱长为a正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求异面直线AC与BC₁所成的角；
（2）求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）在棱长为a正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AC和A₁C₁平行且相等，可得∠BC₁A₁即为异面直线AC与BC₁所成的角．再由△BC₁A₁为等边三角形可得∠BC₁A₁=60°，由此可得结论．
（2）三棱锥B₁-A₁BC₁的体积 即VB-A1B1C1=

1

3

•S△A1B1C1•BB₁，运算求得结果．

解答：解：（1）在棱长为a正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC和A₁C₁平行且相等，
故∠BC₁A₁即为异面直线AC与BC₁所成的角．
再由△BC₁A₁为等边三角形可得∠BC₁A₁=60°，故异面直线AC与BC₁所成的角为60°．
（2）三棱锥B₁-A₁BC₁的体积 即VB-A1B1C1=

1

3

•S△A1B1C1•BB₁=

1

3

（

1

2

a•a）a=

1

6

a³．

点评：本题主要考查求异面直线所成的角，求棱锥的体积，体现了转化的数学思想，属于中档题．