Question

设函f(x)=

x2-bx+c，x≤0 2，x＞0

若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则函数g（x）=f（x）-x的零点的个数为（　　）

• A、3个
• B、2个
• C、1个
• D、0个

Answer 1

分析：根据f（x）=x²-bx+c，f（-4）=f（0），f（-2）=-2以及二次函数图象的对称性可得

b=-4 4+2b+c=-2

，即可求得函数的解析式，要求函数g（x）=f（x）-x的零点的个数，即求方程f（x）=x根的个数，解方程即可求得结果．

解答：解：∵x≤0时，f（x）=x²-bx+c，f（-4）=f（0），f（-2）=-2
∴

b=-4 4+2b+c=-2

，解得

b=-4 c=2

，
f（x）=x²+4x+2，解方程x²+4x+2=x，得x=-1，或x=-2；
当x＞0时，f（x）=2，解方程2=x，得x=2，
综上函数g（x）=f（x）-x的零点的个数为3个，
故选A．

点评：本题主要通过零点的概念来考查二次函数和分段函数及方程根的求法，解决分段函数问题，一般是分段求解，体现了分类讨论的思想，函数的零点与方程的根之间的关系，体现转化的思想，同时考查了运算能力，属中档题