Question

已知{an}为等差数列，若

a11

a10

＜-1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n=

19

．

Answer 1

分析：要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n小于或等于0，而a_n+1大于0，由

a11

a10

＜-1，我们不难得到a₁₁＜0＜a₁₀，根据等差数列的性质，我们易求出当S_n取得最小正值时，n的值．

解答：解：∵S_n有最小值，
∴d＜0
则a₁₀＞a₁₁，
又

a11

a10

＜-1，
∴a₁₁＜0＜a₁₀
∴a₁₀+a₁₁＜0，
S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，
S₁₉=19a₁₀＞0
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂
∴S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁
又∵S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0
∴S₁₉为最小正值
故答案为：19

点评：本题考查数列的函数性质，一般的{a_n}为等差数列，若它的前n项和S_n有最小值，则数列的公差d小于0；{a_n}为等差数列，若它的前n项和S_n有最大值，则数列的公差d大于0．