Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，）在椭圆C上。
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过F₁的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF₂B的面积为，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，
由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂(1，0)，
∴，
∴a=2，
又c=l，b²=4-1=3，
故椭圆的方程为。
(Ⅱ)解法一：当直线l⊥x轴，计算得到：，
，不合题意；
 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k(x+1)，
由，消去y，得(3+4k²)x²+8k²x +4k²-12=0，
显然△＞0成立，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则，
又，
即，
又圆F₂的半径为，
所以，，
化简，得17k⁴+k²-18=0，
即(k²-l)(17k²+18)=0，解得k=±1，所以，，
故圆F₂的方程为：(x-l)²+y²=2。
解法二：设直线l的方程为x=ty-l，
由，消去x得(4+3t2)y²-6ty-9=0，△＞0恒成立，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则，
所以，，
又圆F₂的半径为，
所以，，
解得：，
所以，，
故圆F₂的方程为：(x-l)²+y²=2。