Question

17．设{a_n}是公差为-1的等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁，S₂，S₄成等比数列，可得${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，再利用等差数列的前n项和公式可得$（2{a}_{1}-1）^{2}$=a₁（4a₁-6），解出即可得出；
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$=2^1-2n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴${S}_{2}^{2}={S}_{1}{S}_{4}$，
∴$（2{a}_{1}-1）^{2}$=a₁（4a₁-6），
化为a₁=-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=-$\frac{1}{2}$-（n-1）=$\frac{1}{2}$-n．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$=2^1-2n，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{1-2（n+1）}}{{2}^{1-2n}}$=$\frac{1}{4}$，b₁=$\frac{1}{2}$．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{4}$．
∴{b_n}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．