Question

错位相减法求和：求和：S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1．

Answer 1

【答案】分析：对x分类讨论，利用“错位相减法”和等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：由题可知，{（2n-1）x^n-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x^n-1}的通项之积．
∵S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1，
∴+（2n-1）xⁿ，
两式相减得（1-x）S_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ，
①当x≠1，0时，由等比数列的求和公式得：（1-x）S_n=1+，
∴；
②当x=1时，S_n=1+3+5+…+（2n-1）==n²．
③当x=0时，S_n=1+0=1．
点评：熟练掌握分类讨论思想、“错位相减法”、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键．