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己知函数h(x)=(x∈R,且x>2)的反函数的图象经过点(4,3),将函数y=h(x)的图象向左平移2个单位后得到函数y=f(x)的图象.
(I )求函数f(x)的解析式;
(II)若g(x)=f(x)+,g(x)在区间(0,3]上的值不小于8,求实数a的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)先根据互为反函数的两个函数的对称性得出函数h(x)=(x∈R,且x>2)的图象经过点(3,4),将点的坐标代入函数解析式得出m,由于h(x)==(x-2)+,从而f(x)=h(x+2)=x+
(II)根据题意得出x+≥8有a≥-x2+8x-3,令t(x)=-x2+8x-3,则t=-(x-4)2+13,利用t(x)在(0,3)上是增函数.求出其最大值,从而得到实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵函数h(x)=(x∈R,且x>2)的反函数的图象经过点(4,3),
∴函数h(x)=(x∈R,且x>2)的图象经过点(3,4),
=4,⇒m=7,
∴h(x)==(x-2)+
∴f(x)=h(x+2)=x+. …(3分)
(Ⅱ)∵g(x)=x+
∴由已知有x+≥8有a≥-x2+8x-3,
令t(x)=-x2+8x-3,则t=-(x-4)2+13,于是t(x)在(0,3)上是增函数.
∴t(x)max=12.
∴a≥12.…(12分)
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、反函数、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
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x2-4x+m
x-2
(x∈R,且x>2)的反函数的图象经过点(4,3),将函数y=h(x)的图象向左平移2个单位后得到函数y=f(x)的图象.
(I )求函数f(x)的解析式;
(II)若g(x)=f(x)+
a
x
,g(x)在区间(0,3]上的值不小于8,求实数a的取值范围.

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x
,g(x)在区间(0,3]上的值不小于8,求实数a的取值范围.

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