Question

若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“四维光军”函数．
①设g（x）=x²-x+是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数h（x）=是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．

Answer 1

解：①由知g（x）在[1，b]上单调递增，且g（1）=1．
∴[1，g（b）]=[1，b]
即g（b）=b，解得b=3．
②假设存在a与b使h（x）是“四维光军”函数，
因为函数h（x）=是区间[a，b]上单调递减，
所以有，即，所以b（a+2）=a（b+2）=1，解得2a=2b，所以a=b，这与已知a＜b产生矛盾．
∴不存在a与b使得h（x）是“四维光军”函数．
分析：①利用“四维光军”函数的定义，建立定义域和值域之间的关系，即可．
②假设常数a，b，利用函数的单调递减，得到h（a）=b，h（b）=a，利用方程组解出矛盾．
点评：本题主要考查函数定义域以及函数值域的求法，考查学生分析问题的能力．