Question

如图所示，已知圆O：x²+y²=4，直线m：kx-y+1=0．
（1）求证：直线m与圆O有两个相异交点；
（2）设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据该直线恒过点（0，1），而（0，1）在圆O：x²+y²=4内部，可得直线m与圆O有两个相异交点．
（2）求出圆心O到直线m的距离为 d、弦长AB的值，计算△AOB面积S=

1

2

|AB|×d=

-(d2-2)2+4

，根据d的范围根据函数的单调性求得面积的最大值．

解答：解析　（1）证明　直线m：kx-y+1=0可化为y-1=kx，
故该直线恒过点（0，1），而（0，1）在圆O：x²+y²=4内部，
所以直线m与圆O恒有两个不同交点．
（2）圆心O到直线m的距离为 d=

1

1+k2

，而圆O的半径r=2，
故弦AB的长为|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
故△AOB面积S=

1

2

|AB|×d=

1

2

×2

4-d2

×d=

4d2-d4

=

-(d2-2)2+4

．
而d²=

1

1+k2

，因为1+k²≥1，所以d²=

1

1+k2

∈（0，1]，
显然当d²∈（0，1]时，S单调递增，所以当d²=1，即k=0时，S取得最大值

3

，
此时直线m的方程为y-1=0．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．