Question

（2013•闵行区一模）已知函数f(x)=loga

1-x

1+x

(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数；
（3）如果当x∈（t，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值．

Answer 1

分析：（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；
（2）直接利用函数的单调性定义证明，作差整理后出现对数式，这需要证明对数式的真数与1的大小关系，可以单独拿出运用作差法；
（3）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证
当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），首先应有（t，a）⊆（-1，1），且当x∈（t，a）时，

1-x

1+x

∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=-1，且

1-a

1+a

=a，从而求出a和t的值；

解答：解：（1）要使原函数有意义，则

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域D=（-1，1）．
函数f（x）在定义域内为奇函数．
证明：对任意x∈D，f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=loga

1-x1

1+x1

-loga

1-x2

1+x2

=loga(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)=loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

．
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）-[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=2（x₂-x₁）＞0．
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=（1-x₁）（1-x₂）＞0．
∴

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＞1．
∵0＜a＜1，
∴loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在D上是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），
所以（t，a）⊆（-1，1）且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由

1-a

1+a

=a，得：a²+a=1-a，解得：a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．
所以a=

2

-1，t=-1．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了利用定义证明函数的单调性，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，此题的处理有两处难点，一是利用定义证明单调性时对差式的真数与1的大小判断，二是（3）中的转化求值，体现了学生灵活处理问题的能力，此题属有一定难度题型．