Question

18．已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$满足|β|=1，且$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为120°，则$\overrightarrow{α}$的模的取值范围为（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{β}$，得到∠ABC=60°由正弦定理得：|$\overrightarrow{α}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，从而求出其范围即可．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{β}$如图所示：
则由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$，又∵$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为120°
∴∠ABC=60°
又由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{β}$|=1
由正弦定理 $\frac{|\overrightarrow{α}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|}{sin60°}$得：
|$\overrightarrow{α}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{α}$|∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
故答案为：（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题主考查了向量的加法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，综合性较大．