Question

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8，再根据若|x|≥2时，f（x）≥0，可确定b的范围，进而可求b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

，
∴b²+c²在[-5，-4]上单调递减
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．

点评：本题是典型的二次函数最值问题，解题需要灵活运用初等数学思想，包括数形结合，分类讨论，函数思想，转化且探究意识要强．