Question

10．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD⊥AC，$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$AB=3\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求△ABD的面积；
（Ⅱ）求线段DC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出B的正弦函数值，利用三角形的面积公式求解即可．
（Ⅱ） 利用余弦定理求出AD，求出$cos∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．在Rt△DAC中求解DC即可．

解答 （本小题13分）
解：（Ⅰ）∵$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且0＜B＜π，
∴$0＜B＜\frac{π}{2}$．
又∵sin²B+cos²B=1，
∴$sinB=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵$AB=3\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•BDsinB$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）∵AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，
且$AB=3\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$，$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$A{D^2}=18+3-2×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=9$，
∴AD=3．
又∵$cos∠ADB=\frac{{B{D^2}+A{D^2}-A{B^2}}}{2BD•AD}=\frac{3+9-18}{{2×\sqrt{3}×3}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$cos∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．  又∵在Rt△DAC中，∠DAC=90°，
∴$cos∠ADC=\frac{AD}{DC}$，即$\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{3}{DC}$，
∴$DC=3\sqrt{3}$． …（13分）

点评 本题考查余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．