Question

求函数y=log2(2x+1)•log2(2x-1+

1

2

)的值域并分析其单调性．

Answer 1

分析：由已知中函数y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

1

2

）的解析式是一个较复杂的对数式，我们可以用换元法将函数的解析式简化，令log₂（2^x+1）=t将可将函数的解析式为化二次函数，结合中间元t＞0，结合二次函数的图象和性质，即可得到函数的值域，进而根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性及复合函数的单调性的确定方法，即可判断出其单调性．

解答：解：y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

1

2

）
令log₂（2^x+1）=t
则y=t（t-1）=（t-

1

2

）²-

1

4

，t＞0
所以原函数值域为[-

1

4

，+∞）
∵y=t（t-1）在[

1

2

，+∞）上是增函数
由t≥

1

2

即log2(2x+1)≥

1

2

得2x+1≥

2

解得x≥log2(

2

-1）
又t=log₂（2^x+1）为增函数
所以原函数在[log₂（

2

-1）上为增函数，
同理可得原函数在（-∞，log₂（

2

-1）]上为减函数

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，函数的值域，函数的单调性，其中利用换元法，将已知中复杂的函数解析式，进行化简，是解答本题的关键．但换元时一定要注意中间元的取值范围，以免出现错误．