Question

设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求

FA

•

FB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点P（x，y），点Q与点P关于y轴对称题设知Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），由

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4，知

x=3(a-x) y-b=-3y ax+by=4

，由此能求出点P的轨迹M的方程．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立

y=kx-2k x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

•

FB

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2），利用韦达定理能求出

FA

•

FB

的取值范围．

解答：解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴

BP

=（x，y-b），

PA

=（a-x，-y），

OQ

=（-x，y），

AB

=(-a，b)，
∵

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4，
∴

x=3(a-x) y-b=-3y ax+by=4

，
解得点P的轨迹M的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立

y=kx-2k x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

12k2

3k2+1

，x₁x₂=

12k2-3

3k2+1

，

FA

=（x₁-2，y₁），

FB

=（x₂-2，y₂），
∴

FA

•

FB

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）
=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=（1+k²）（

12k2-3

3k2+1

-

24k2

3k2+1

+4）
=

k2+1

3k2+1

=

1

3

+

2

9k2+3

，
∴当k²→∞

FA

•

FB

的最小值→

1

3

；当k=0时，

FA

•

FB

的最大值为1．
∴

FA

•

FB

的取值范围是（

1

3

，1]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量乘积人取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量知识的合理运用．