Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点A（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两不同点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的性质及e=$\frac{c}{a}$，A在椭圆上，满足椭圆方程及b²=a²-c²即可得出；
（II）分直线MN的斜率存在与不存在讨论，当MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系及其中点坐标公式，再由基本不等式的性质即可得出范围．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．
因为椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
b²=a²-c²=3．
所以a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y₀=0．
当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），
可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
则x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₃=k（x₃-1）=-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$．
线段MN的垂直平分线方程为y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）．
在上述方程中令x=0，得y₀=$\frac{k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}$．
当k＜0时，4k+$\frac{3}{k}$≤-4$\sqrt{3}$；当k＞0时，4k+$\frac{3}{k}$≥4$\sqrt{3}$．
所以-$\frac{\sqrt{3}}{12}$≤y₀＜0，或0＜y₀≤$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
综上：y₀的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式及其基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了分类讨论思想方法、推理能力、计算能力．