Question

8．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且$6{S_n}=a_n^2+3{a_n}+2$（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n为偶数}\\{{2^{a_n}}，n为奇数}\end{array}}\right.$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n；
（3）设${C_n}=\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}，（n为正整数）$，问是否存在正整数N，使得当任意正整数n＞N时恒有C_n＞2015成立？若存在，请求出正整数N的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）n=1时，可解得a₁=2，n≥2时，化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，从而可得a_n-a_n-1=3，从而求通项公式；
（2）化简${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3n-1，n为偶数}\\{{2^{3n-1}}，n为奇数}\end{array}}\right.$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，从而分n为偶数还是奇数讨论，从而求得；
（3）化简${C_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{a_n}=\frac{{{2^{3n+2}}}}{3n-1}，n为偶数}\\{\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{a_n}}}}=\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}，n为奇数}\end{array}}\right.$，从而可判断当n为奇数时，C_n+2＜C_n，从而判断．

解答 解：（1）n=1时，$6{a_1}={a_1}^2+3{a_1}+2$，且a₁＞1，
解得a₁=2，
n≥2时，$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}+2$，$6{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+3{a_{n-1}}+2$，
两式相减得：$6{a_n}={a_n}^2-{a_{n-1}}^2+3{a_n}-3{a_{n-1}}$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，a_n=3n-1．
（2）${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3n-1，n为偶数}\\{{2^{3n-1}}，n为奇数}\end{array}}\right.$，T_n=b₁+b₂+…+b_n．
当n为偶数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=$\frac{{4（1-{8^n}）}}{1-64}+\frac{{\frac{n}{2}（5+3n-1）}}{2}=\frac{4}{63}（{8^n}-1）+\frac{n（3n+4）}{4}$，
当n为奇数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=$\frac{{4（1-{8^{n+1}}）}}{1-64}+\frac{{\frac{n-1}{2}（5+3n-4）}}{2}=\frac{4}{63}（{8^{n+1}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$．
∴${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{63}（{8^n}-1）+\frac{n（3n+4）}{4}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n为偶数}\\{\frac{4}{63}（{8^{n+1}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}，n为奇数}\end{array}}\right.$；
（3）${C_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{{a_{n+1}}}}}}{a_n}=\frac{{{2^{3n+2}}}}{3n-1}，n为偶数}\\{\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{a_n}}}}=\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}，n为奇数}\end{array}}\right.$，
当n为奇数时，
${C_{n+2}}-{C_n}=\frac{3n+8}{{{2^{3n+5}}}}-\frac{3n+2}{{{2^{3n-1}}}}=\frac{1}{{{2^{3n+5}}}}[3n+8-64（3n+2）]＜0$，
∴C_n+2＜C_n，
故{C_n}递减，${C_n}≤{C_1}=\frac{5}{4}＜2015$，
因此不存在满足条件的正整数N．

点评 本题考查了等差数列的性质的应用及计算，考查了分类讨论的思想应用及分组求和的应用．