Question

解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 如图，在四棱锥中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝， ，． (1) 求点D到平面PBC的距离； (2) 求二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：如图，在四棱锥中， ∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A 到平面PBC的距离． ∵∠ABC＝，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，………………2分 ∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB， 过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC， ∴AE的长等于点D到平面PBC的距离． 而，∴．………………5分 即点D到平面PBC的距离为．………………6分 　　解法二：如图，以A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 依题意，， ∴， ∴．则，，， ， ∴，，． 设平面PBC的一个法向量为，则 令，得， 则点D到平面PBC的距离等于．……………6分
(2)	方法一：∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD， 引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD， ∴MN是CN在平面PAD上的射影， 由三垂线定理可知CN⊥PD， ∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分 依题意，， ∴，∴， 可知，∴， ， ∴二面角的大小为．………………12分 　　方法二：∵AB⊥PA，AB⊥AD， ∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为． 设平面PDC的一个法向量为， ∵，，∴ 令，得，∴． ∵二面角是锐二面角， ∴二面角的大小为．………………12分