Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

1

2

且经过点P(1，

3

2

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

1

2

，可得a=2c，从而b²=a²-c²=3c²，故椭圆的标准方程可设为：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，将点P(1，

3

2

)代入，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设M（x₀，y₀）则半径r=

(x0-1)2+y02

，圆心到y轴的距离d=|x₀|，根据圆M与y轴有两个交点及M在椭圆上，即可确定点M横坐标的取值范围；
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16，使得圆N与圆M相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，利用椭圆的定义，可知两圆相内切．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆的标准方程可设为：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
又∵过点P(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

9 4

3c2

=1
∴c=1
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

 =1
（2）设M（x₀，y₀）则半径r=

(x0-1)2+y02

，圆心到y轴的距离d=|x₀|
若圆M与y轴有两个交点，则有r＞d，即有

(x0-1)2+y02

＞|x0|，化简得y02-2x0+1＞0，
∵M在椭圆上，∴y02=3-

3

4

x02，代入上不等式得3x02+8x0-16＜0解得：-4＜x0＜

4

3

，
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x0＜

4

3

（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16，使得圆N与圆M相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，
由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴|MF₁|=4-|MF₂|
∴两圆相内切．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查圆与圆的位置关系，考查圆与椭圆知识的综合，属于中档题．