Question

如图，已知两定点A（-1，0），B（1，0）和定直线l：x=4，动点M在直线l上的射影为N，且．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程并画草图；
（Ⅱ）是否存在过点A的直线n，使得直线n与曲线C相交于P，Q两点，且△PBQ的面积等于？如果存在，请求出直线n的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用两点间距离公式分别求，再代入，化简，即可得动点M的轨迹C的方程，再根据方程画出图形即可．
（Ⅱ）先假设存在过点A的直线n，使得直线n与曲线C相交于P，Q两点，且△PBQ的面积等于，分斜率存在和斜率不存在两种情况设出直线n的方程，与曲线C的方程联立，求出△PBQ的面积，让面积等于，解k，若能解出，则存在，若解不出，则不存在．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则，，代入，得，化简得，
即得曲线C的方程为，
草图如图所示．
（Ⅱ）（i）若直线n的斜率不存在时，此时点，点，△PBQ的面积等于3，不符合；
（ii）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x+1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立，得，则，，则=，
所以 =，
点B到直线n的距离，
所以△PBQ的面积等于=，解之得：，
故存在直线n为．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，做题时要认真分析．