Question

过点S引三条直线SA，SB，SC，其中∠BSC=90°，∠ASC=∠BSA=60°，且SA=SB=SC=a．求证：平面ABC⊥平面BSC．

Answer 1

【答案】分析：由于，∠ASC=∠BSA=60°，且SA=SB=SC=a，可以发现三角形SAB、SAC、是正三角形，从而三角形ABC为等腰三角形，故取底边BC的中点D，连接SD，AD，可以证明三角形ASD为直角三角形，而∠ADS恰好为二面角S-BC-A的平面角，从而由面面垂直的定义可证之．
解答：证明：取BC的中点D，连接SD、AD，由于∠ASC=∠BSA=60°，且SA=SB=SC=a，所以三角形SAC、SAB为正三角形，
所以三角形ABC为等腰三角形，所以SD⊥BC，AD⊥BC，所以∠ADS恰好为二面角S-BC-A的平面角，且BC=a，
从而SD=AD=a，而SA=a，所以三角形SAD为直角三角形，∠SDA为直角，所以，平面ABC⊥平面BSC．
点评：本题考查面面垂直的判定，在判定理定理不好用的时候，考虑用面面垂直的定义来证明．