【题目】已知圆C:,直线
过定点
.
(1)若与圆相切,求
的方程;
(2)若与圆相交于
两点,线段
的中点为
,又
与
的交点为
,判断
是否为定值.若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
是定值,且为6.
【解析】
试题(1)设过定点,斜率存在或斜率不存在两种情况,利用直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程;(2)解法一:设直线线方程为,与
联立求交点
,又直线CM与
垂直,由
联立求交点
,求
,并化简;解法二:也可利用直线与圆相交,联立方程,利用
求中点
;解法三:数形结合,利用相似三角形,将
转化为定值.
试题解析:(1)解:①若直线的斜率不存在,即直线是
,符合题意
②若直线斜率存在,设直线
为
,即
.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线的距离等于半径2,即:
,
解之得。
所求直线方程是,
。
(2)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,
且不为0,可设直线方程为
由得
.
又直线CM与垂直,由
得
为定值。 故
是定值,且为6。
解法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为。
由得
.
再由得
.
∴得
.
以下同解法一.
解法三:用几何法,
如图所示,△AMC∽△ABN,则,
可得,是定值.
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【题目】若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=log2( +a).
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[ ,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
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【题目】某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格”,则该课程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7,在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数).
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【题目】据市场调查发现,某种产品在投放市场的30天中,其销售价格(元)和时间
(天)的关系如图所示.
(1)求销售价格(元)和时间
(天)的函数关系式;
(2)若日销售量(件)与时间
(天)的函数关系式是
,问该产品投放市场第几天时,日销售额
(元)最高,且最高为多少元?
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【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1()的最小正周期为π,且
.
(1)求ω和φ的值;
(2)函数f(x)的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,
①求函数g(x)的单调增区间;
②求函数g(x)在的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)和单位圆上的两点B(1,0),C(-,
),点P是劣弧
上一点,∠BOC=α,∠BOP=β.
(Ⅰ)若OC⊥OP,求sin(π-α)+sin(-β)的值;
(Ⅱ)设f(t)=|+t
|(t∈R),当f(t)的最小值为1时,求
的值.
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【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
的右顶点,直线
与直线
分别与
轴交于
两点,试问在
轴上是否存在一个定点
使得
?若是,求出定点
的坐标;若不是,说明理由.
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