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    （2008•普陀区二模）已知点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为-
    1
    4
    ．
    （1）求证：点P的轨迹在椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    上；
    （2）设过原点O的直线AB交（1）题中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为(1，
    1
    2
    )    ，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB；
    （3）某同学由（2）题结论为特例作推广，得到如下猜想：
    设点M（a，b）（ab≠0）为椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．则当且仅当kOM=-kAB时，△MAB的面积取得最大值．
    问：此猜想是否正确？若正确，试证明之；若不正确，请说明理由．
    分析：（1）由已知中点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为-
    1
    4
    ．我们设出P（x，y），进而得到x，y之间的关系式，整理后即可得到点P的轨迹方程．
    （2）设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（-x1，-kx1），联立直线和椭圆的方程，我们可得x2=
    4
    1+4k2
    ，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离求出AB边的高，可以得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的，代入可求出对应的k值．
    （3）设M（1，4），根据（2）的计算办法，我们易求出，△MAB的面积取得最大值时，并求出此进kOM及kAB的值，验证后，可得猜想不成立．
    解答：证明：（1）设P（x，y），由直线PE，PF的斜率均存在可知，x≠±2
    由题意可得，KPE•KPF=
    y
    x+2
    •
    y
    x-2
    =-  
    1
    4

    整理可得，
    x2
    4
    +y2=1    （x≠±2）
    点P的轨迹为椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    上
    （2）设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（-x1，-kx1）
    联立方程y=kx与
    x2
    4
    +y2=1
    整理可得x2=
    4
    1+4k2

    AB=2OA=2
    		(1+k2)x12 
    =4
    1+k2
    1+4k2

    ∵M（1，
    1
    2
    ）到直线AB的距离d=
    |k-
    1
    2
    |
    		1+k2

    S△MAB=
    1
    2
    AB•d    =
    1
    2
    ×4
    1+k2
    1+4k2
    ×
    |k-
    1
    2
    |
    		1+k2
    =m
    则4（1-m2）k2-4k+1-m2=0
    则42-4•4（1-m2）•（1-m2）≥0
    即（1-m2）2≤1
    又由m≥0可得
    0≤m≤
    		2

    即三角形MAB的最大值为
    		2

    代入4（1-m2）k2-4k+1-m2=0得
    k=-
    1
    2

    （3）设M（1，
    1
    4
    ），则M点在椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    内
    由（2）中推导过程，可得
    当k0M=
    1
    4
    ，kAB=-1时，△MAB的面积取得最大值
    此时kOM≠-kAB，
    故猜想：点M（a，b）（ab≠0）为椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    内一点，
    过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．
    则当且仅当kOM=-kAB时，△MAB的面积取得最大值正确
    点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中（1）的关键是分别求出两条直线的斜率，进而得到P点横、纵坐标的关系式，（2）的关键是得到△MAB面积的表达式，（3）中正面证明比较麻烦，可以举出一反例，推反前面的猜想．
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    x2
    m
    +
    y2
    n
    =1    所对应的曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率是
    3
    10
    3
    10
    ．

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    （2008•普陀区二模）经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”．它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合．例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A产品x台和B产品y台，则它们之间形成的函数y=f（x）就是该企业的“产能边界函数”．现假设该企业的“产能边界函数”为y=15
    		1600-2x
    （如图）．
    （1）试分析该企业的产能边界，分别选用①、②、③中的一个序号填写下表：
    点Pi（x，y）对应的产量组合 实际意义
    P1（350，450） ③
    P2（200，300）
    P3（500，400）
    P4（408，420）
    ①这是一种产能未能充分利用的产量组合；
    ②这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合；
    ③这是一种使产能最大化的产量组合．
    （2）假设A产品每台利润为a（a＞0）元，B产品每台利润为A产品每台利润的2倍．在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A产品和B产品各多少台才能使企业从中获得最大利润？

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    （2008•普陀区二模）等差数列{an}中，若a7-a3=20，则a2008-a2000=
    40
    40
    ．

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    （2008•普陀区二模）若不等式组
    x-y≥0
    y≥1
    x+y≤a
    表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是
    a＞2
    a＞2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•普陀区二模）设函数f（x）=|log2x|，则f（x）在区间（m-2，2m）内有定义且不是单调函数的充要条件是
    [2，3）
    [2，3）
    ．

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