Question

【题目】设|θ|＜ ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn
（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1） tannθ；
（2）求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．

Answer 1

【答案】
（1）证明：an=sin tannθ，

当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπtannθ=0；

当n=2k﹣1为奇函数时，an= tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1） tannθ

（2）证明：a2k﹣1+a2k=（﹣1） tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．

∴S2n= = sin2θ[1+（﹣1）n+1tan2nθ]

【解析】（1）利用sin = ，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1） tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．