Question

15．计算：C${\;}_{2}^{0}$+C${\;}_{3}^{1}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{3}$+C${\;}_{6}^{4}$+…+C${\;}_{18}^{16}$+C${\;}_{19}^{17}$=1140．

Answer 1

分析 利用组合数公式的性质C_n+1³-c_n³=C_n²，可得 C₂²+C₃²+C₄²+…+C₁₉² =C₃³ +（C₄³-C₃³）+（C₅³-C₄³）+…+（C₂₀³-C₁₉³），化简得到结果．

解答 解：C${\;}_{2}^{0}$+C${\;}_{3}^{1}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{3}$+C${\;}_{6}^{4}$+…+C${\;}_{18}^{16}$+C${\;}_{19}^{17}$
=${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{18}^{2}$+${C}_{19}^{2}$，
∵C_n+1³-c_n³=C_n²，
∴C₂²+C₃²+C₄²+…+C₁₉²
=C₃³ +（C₄³-C₃³）+（C₅³-C₄³）+…+（C₂₀³-C₁₉³）
=C₂₀³ =$\frac{20×19×18}{3×2}$=1140，
故答案为：1140．

点评 本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C_n+1³-c_n³=C_n²，即C_n² +c_n³ =C_n+1³，属于基础题．