Question

有一家公司准备裁减人员．已知这家公司现有职员4m（40＜m＜160，m∈Z）人，每人每年可创纯利5万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的

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，为获得最大的经济效益．该公司应栽员多少人？

Answer 1

分析：设裁员x人，根据每裁员1人，则留岗职员每人每年多创纯利0.1万元，但公司需付下岗职员生活费等每人每年4万元，可得经济效益的函数，利用该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的

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，确定函数的定义域；结合二次函数的图象和性质分类讨论，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y=（4m-x）（5+0.1x）-4x．
整理得y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m..…（4分）
则二次函数y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m的对称轴方程为x=2m-45．
由-

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＜0，有：
当x＜2m-45时，函数y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m是递增的；
当x＞2m-45时，函数y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m是递减的．
又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的

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，
所以4m-x≥

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×4m，即0＜x≤m．
又40＜m＜160，
①当0＜2m-45≤m，即40＜m≤45时，x=2m-45时，
函数y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m取得最大值．
②当2m-45＞m，即45＜m＜160时，x=m时，
函数y=-

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[x2-2(2m-45)x]+20m取得最大值．
综上所述：当40＜m≤45时，应裁员（2m-45）人；当45＜m＜160时，应裁员m人，公司才能获得最大的经济效益．…（13分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查分类讨论的数学思想，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．