Question

如图，曲线y²＝x(y≥0)上的点P_i与x轴的正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形：△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…，△Q_n－1P_nQ_n，…．设正三角形P_nQ_n的边长为a_n，n∈N*(记Q₀为O)，Q_n(S_n，0)．

(1)求a₁的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(3)求证：当n≥2时，．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)由条件可得P1(a1，a1)，代入曲线y2＝x(y≥0)，得 ＝a1．∵a1＞0，∴a1＝． 　　(2)∵Sn＝a1＋a2＋…＋an， 　　∴点Pn+1(Sn＋an+1，an+1)代入曲线y2＝x(y≥0)并整理得 Sn＝－an+1． 　　于是当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝(－an+1)－(－an)， 　　即(an+1＋an)＝(an+1＋an)·(an+1－an)． 　　∵an+1＞an＞0，∴an+1－an＝(n≥2，n∈N*)． 　　又当n＝1时，S1＝－a2，∴a2＝(－舍去)， 　　∴a2－a1＝，故an+1－an＝(n∈N*)． 　　所以数列{an}是首项为．公差为的等差数列，an＝n； 　　(3)由(2)得an＝n，当n≥2时， 　　欲证，只需证3n＋3＜4n2－4n，即证4n2－7n－3＞0． 　　设f(n)＝4n2－7n－3，当n≥时，f(n)递增．而当n≥3时，有f(n)＞0成立． 　　所以只需验证n＝2时不等式成立．事实上，． 　　综上所述，原不等式成立．