Question

14．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3）．
（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若实数m，n满足m²+n²-4m-14n+45=0，求k=$\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（-2，3）连线的斜率，设直线方程为y-3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2$\sqrt{2}$，
|QC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（7-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，|MQ|_max=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=4$\sqrt{2}-2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（-2，3）连线的斜率，
设直线方程为y-3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴k=2$±\sqrt{3}$，
∴k的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．