Question

设经过双曲线x2-

y2

3

=1的左焦点F₁作倾斜角为

π

6

的直线与双曲线左右两支分别交于点A，B．求
（I）线段AB的长；
（II）设F₂为右焦点，求△F₂AB的周长．

Answer 1

分析：（I）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（II）利用焦半径公式求出|F₂A|，|F₂B|；利用韦达定理求出）|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周长．

解答：解：（I）F₁（-2，0）
k=tan

π

6

=

3

3

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
将直线AB：y=

3

3

(x+2)代入3x²-y²-3=0
整理得8x²-4x-13=0
由距离公式|AB|=

1+k2

△

8

=3（6分）
（II）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴|F2A|+|F2B|=2(x1-x2)=2•

(x1+x2)2-4x1x2

=2•

3

2

3

=3

3

∴△F2AB的周长L=3+3

3

（12分）

点评：解决直线与圆锥曲线的弦长问题常将直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用弦长公式|AB|=

1+k2

△

8

．