Question

若A，B，C是上不共线的三点，动点P满足

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]（t∈R且t≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心

B．垂心

C．外心

D．AB边的中点

Answer 1

分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]进行化简，取AB的中点D，得到

2(1-t)

3

OD

+

1+2t

3

OC

，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，t≠0，则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心，但点P的轨迹一定通过△ABC的AB边的中点．

解答：解：取AB的中点D，则 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-t)

OA

+(1-t)

OB

+(1+2t)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-t)(2

OD

)+(1+2t)

OC

]
=

2(1-t)

3

OD

+

1+2t

3

OC

，
而

2(1-t)

3

+

1+2t

3

=1，
∴P、C、D三点共线，
∵t≠0
∴点P的轨迹为直线CD，且不过重心，但一定经过AB的中点D．
故选D．

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，属于基础题．