Question

已知一个数列的前n项和S_n＝an²＋bn＋c（a≠0）．

（1）求此数列的一个通项公式；（2）判断这个数列是否构成等差数列，并加以证明．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）a1＝S1＝a＋b＋c（a≠0）． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝an2＋bn＋c－ a（n－1）2－b（n－1）－c＝（a＋b）＋2 a （n－1）． 而a 1＝（a ＋b）＋2 a （1－1）＝a ＋b≠S1， 所以  这个数列的通项公式为a n＝ （2）当c＝0时，数列｛a n｝是等差数列； 当c≠0时，数列｛a n｝不是等差数列． 即数列｛a n｝成等差数列的充要条件是c＝0．现证明如下： 先证明必要性． 当n＝1时，a 1＝S1＝a ＋b＋c，当n≥2时，a n＝Sn－Sn－1＝（a ＋b）＋2 a （n－1）． 因为a 2＝3a＋b，a3＝5a＋b，又｛an｝成等差数列，则a2－a1＝a3－a2． 所以3a＋b－a－b－c＝5a＋b －3a－b ． 从而c＝0，即c＝0是｛an｝成等差数列的必要条件． 再证明充分性． 当c＝0时，Sn＝an2＋bn．又an＝Sn－Sn－1＝2an＋b－a（n≥2）． 当n ＝1时，a1＝S1＝a＋b，同时n＝1时，an＝2a n＋b－a，也有a1＝a＋b． 所以an＋1－an＝2a（n＋1）＋b－a－2an－b＋a＝2a（n≥1），2a是与n无关的常数． 所以｛an｝是等差数列，即c＝0是｛an｝成等差数列的充分条件．

提示：

已知Sn求an需分当n－1及n≥2时，掌握用定义证明等差数列．