Question

已知、满足，，且、的夹角为60°，设向量与向量的夹角为θ（t∈R）．
（1）若θ=90°，求实数t的值；
（2）若θ∈（90°，180°），求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积的定义可得=1，当θ=90°时，根据（）•（）=0求出t的值．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1，即  2t²+15t+7＜0，且 ，由此求得实数t的取值范围．
解答：解：（1）由题意可得 =2×1×cos60°=1，当θ=90°时，（）⊥（），
∴（）•（）=2t+（2t²+7）+7t=8t+（2t²+7）+7t=2t²+15t+7=0，
解得 t=-，或t=-7．
（2）若θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1． 
∵||==，
||==，
而cosθ==＜0，
且≠-k•（）
∴2t²+15t+7＜0，且 ．
解得  且t=±，
故实数t的取值范围为{t|，且 }．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用，注意排除两个向量的夹角等于180°的情况，这是解题的易错点，属于中档题．