Question

（2012•西城区二模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+

3

cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中ω＞0，φ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（Ⅰ）求ω与φ的值；
（Ⅱ）若f(

α

4

)=

4 5

5

，求

2sinα-sin2α

2sinα+sin2α

的值．

Answer 1

分析：（I）运用辅助角公式，化简得f(x)=2sin(ωx+φ+

π

3

)．根据图象算出函数的周期，结合三角周期公式得到ω的值，再由f（0）=2是函数的最大值，可求得φ 的值；
（II）根据（I）求出的不等式，可得cos

α

2

的值，利用二倍角公式算出cosα的值，最后将要求值的式子化简，代入cosα的值即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin(ωx+φ)+

3

cos(ωx+φ)=2（sin(ωx+φ)cos

π

3

+cos(ωx+φ)sin

π

3

）
∴f(x)=2sin(ωx+φ+

π

3

)．                             …（2分）
设f（x）的最小正周期为T．
由图象，可得

T

2

=

π

4

-(-

π

4

)=

π

2

，所以 T=π，得ω=

2π

T

=2．         …（4分）
由 f（0）=2，得 sin(φ+

π

3

)=1，得φ+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z
因为 φ∈(-

π

2

，

π

2

)，所以取k=0，得φ=

π

6

．                          …（6分）
（Ⅱ）由（II），得f(x)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x．                        …（8分）
∴f(

α

4

)=2cos

α

2

=

4 5

5

，得 cos

α

2

=

2 5

5

，…（9分）
可得 cosα=2cos2

α

2

-1=

3

5

．                            …（11分）
∴

2sinα-sin2α

2sinα+sin2α

=

2sinα(1-cosα)

2sinα(1+cosα)

=

1-cosα

1+cosα

=

1

4

．    …（13分）

点评：本题给出三角函数的图象，确定其解析式并根据解析式求值，着重考查了三角函数的图象与性质、二倍角的三角函数和辅助角公式等知识，属于基础题．