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设函数f(x)问当k为何值时,函数f(x)在点处连续.

 

答案:
解析:

解:当k=1时,f(x)在点x0处连续.


提示:

函数f(x)在x=0处有定义,并且(x2+1)=1,f(x)=1.

f(x)=1只需f(0)=1,因此k=1.

 


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【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依题意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)设切点为(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切线过点A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.

∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2

画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范围是(-6,2).

 

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