Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中，第5项的系数与第3项的系数比是10：1
求：（1）展开式中含x

3

2

的项
（2）展开式中二项式系数最大的项
（3）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式得出第5项的系数，第3项的系数，得出关于n的方程解得n=8．令

8-r

2

-2r=

3

2

，解得r=1，从而得到展开式中含x

3

2

的项；
（2）由二项式系数性质得C₈⁴最大，则二项式系数最大的项；
（3）而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T_r+1项的系数最大，T_r+1项的系数为r_k，则有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

解答：解：Tr+1=

C

r n

x

n-r

2

(-2)rx-2r（r=0，1，…n）
（1）第5项的系数为C_n⁴（-2）⁴，第3项的系数为C_n²（-2）²∴

C 4 n •16

C 2 n •4

=10，解得n=8．令

8-r

2

-2r=

3

2

，解得r=1
∴展开式中含x

3

2

的项为(1)T2=-16x

3

2

-------------（4分）
（2）由二项式系数性质得C₈⁴最大，则二项式系数最大的项为T5=

1120

x6

------（8分）
（3）先求(

x

+

2

x2

)8展开式中系数最大的项
设第r项系数最大，则

C r 8 2r≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r≥ C r+1 8 2r+1

即

8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r-1)!(8-r+1)! •2r-1 8! r!(8-r)! •2r≥ 8! (r+1)!(8-r-1)! •2r+1

解得

r≤6 r≥5

，则r=5或r=6，故(

x

-

2

x2

)8中第7项系数最大，T7=

1792

x11

-------（12分）

点评：本题考查二项式系数的性质，注意把握x的系数与二项式系数的区别．