Question

已知函数．
（1）若，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若，求函数f（x）的单调区间；
（3）当时，函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当时，，
f′（x）=-2+=≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）=．
（2）∵（x＞0）．
即 （x＞0）．
∵，∵
∴当时，＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，由f′（x）＜0，得2＜x＜；
当a＞时，，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，由f′（x）＜0，得＜x＜，2；
所以当时，f（x）的单调递增区间是（0，2]和，单调递减区间是；
当时，f（x）的单调递增区间是和[2，+∞），单调递减区间是．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故．
由可知，，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，则f（x）_max＜0，
故在区间[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故当时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．
分析：（1）求出f′（x），利用导数符号判断函数单调性，由单调性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的单调区间；
（3）用导数求出函数f（x）在区间[1，2]上最大值，由最大值符号可作出判断．
点评：本题考查函数的零点及应用导数研究函数的单调性问题，属中档题．