Question

已知实数a＜0，函数f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R）
（1）若a=-1，求函数f（x）的图象在点（-1，4）处的切线方程；
（2）若f（x）有极大值-2，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；
（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．

解答：解：（1）∵当a=-1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，
f′（x）=-3x²+4x-1，
∴f′（-1）=-3-4-1=-8，
∴切线方程是：y-4=-8（x+1）即8x+y+4=0；
（2）∵函数f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R），
∴f′（x）=a（3x²-4x+1）=a（3x-1）（x-1）
∵a＜0，
令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=1处取得极大值-2．                    
∴f（1）=a+1=-2，得a=-3，
则实数a的值为-3．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值．