Question

在数列{a_n}中，a1=1，an+1=

2a n

2+an

(n∈N*)，
（1）计算a₂，a₃，a₄
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的递推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（2）根据a₁，a₂，a₃，a₄值的结构特点猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）：a2=

2a 1

2+a1

=

2

3

，a3=

2a 2

2+a2

=

2

4

，a4=

2a 3

2+a3

=

2

5

，
（2）：猜想an=

2

n+1

下面用数学归纳法证明这个猜想．①当n=1时，a₁=1，命题成立．
②假设n=k时命题成立，即ak=

2

k+1

当n=k+1时ak+1=

2a k

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

(把假设作为条件代入)=

4

2(k+1)+2

=

2

(k+1)+1

由①②知命题对一切n∈N^*均成立．

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．