Question

已知圆C半径为1，圆心在直线y=3x上，圆C上存一点A，到点（1，1）与（3，3）的距离相等，则圆心C的横坐标的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意可得点A在MN线段的中垂线 x+y-4=0 上，且点A还在圆C上，故圆C和直线x+y-4=0有交点，故圆心C（a，3a）到直线x+y-4=0的距离小于或等于半径，由此利用点到直线的距离公式，求得a的范围．

解答： 解：由点A到点M（1，1）与N（3，3）的距离相等，可得点A在MN线段的中垂线上．
而MN线段的中垂线方程为y-2=-1（x-2），即 x+y-4=0，且点A还在圆C上，设圆心C（a，3a），
故圆C和直线x+y-4=0有交点，故圆心C（a，3a）到直线x+y-4=0的距离小于或等于半径，
即

|a+3a-4|

2

≤1，解得 8-2

2

≤a≤8+2

2

，
即圆心C的横坐标的取值范围为[8-2

2

，8+2

2

]，
故答案为：[8-2

2

，8+2

2

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．